Betti és a migránsok (Igen vagy Nem?)

        (A posztban egyáltalán nem lesz szó migránsokról, szemben például a Bettivel, akiről meg igen.  )

      1.    Betti nem nő. Betti egy szám, sőt több szám, amelyeket alakzatokhoz rendelnek, és nem is egy, hanem többféle módon. A i-edik (valós) Betti-szám az alakzat i-edik valós kohomológiaterének a dimenziója. A kohomológiatér érintőlegesen és leginkább elvileg megjelenik a műszaki oktatásban, ugyanis a mérnökök általában tanultak olyan mondatokat, hogy bizonyos feltételek mellett a konzervatív erőterek potenciálosak, a rotációmentes terek pedig divergenciák.  A kohomológia tér valami olyasmit magyaráz el, hogy mi van akkor ha ezek a feltételek nem teljesülnek, hány lényegesen különböző konzervatív erőtér van, ami nem potenciálos, hány rotációmentes tér van, ami nem divergencia. Nagyjából. Most erre mondhatja bárki, hogy milyen absztrakt hülyeség ez az egész, kit érdekel, hol lesz ebből atombomba vagy légzőkészülék, és valóban, ebből nem nagyon lesz atombomba  vagy légzőkészülék.

      2.   De. .....Betti a dolgok alakjáról, formájáról szól, és a forma az egy fontos tulajdonsága a dolgoknak. A gömb nem lukas (lásd Mérő László örökbecsű marhaságát), az úszógumi, amit bátran nevezhetek a továbbiakban tórusznak, hát nem teljesen mindegy, meg lukas. Amikor az ember megpróbálja azt a dolgot, tárgyat egy számítógép számára is kezelhetővé tenni, akkor úgy képzeli el, hogy kicsi részekből van összerakva, pontokból, élekből, lapokból, és ezen pontok, élek, lapok illeszkedése aránylag jól kódolja el a dolog formáját. Ezen dolgok akár magasabb dimenziósak is lehetnek, és akkor magasabb dimenziós lapok is kellenek a kódoláshoz, de a kód maga akkor sem túl bonyolult, fel vannak benne sorolva a különböző dimenziójú építőkockák, legók és az a mód, ahogy össze kell őket illeszteni. Az összeillesztési kódból bizonyos egyenleteket lehet felírni és ezen egyenletek megoldásával is nyerhetők számok. Teljesen megdöbbentő módon, ha egy teret lekódolunk, akkor a kódokból kapott számok és a fenti erőteres érvelésekkel kapott számok megegyeznek. Ezt az egészet nagyon régen felfedezték, jóval a számítógépek megjelenése előtt, Betti, az az Enrico Betti, 1892-ben halt meg. A lényeg az, hogy különböző módon, de számokat lehet rendelni az alakzatokhoz, és ezek ha nem is teljesen pontosan, de aránylag jól leírják az alakzatok formáját.

      3.  Ezek a dolgok, alakzatok, tárgyak, amelyekre a fentiekben gondoltam, végesek, legalábbis véges sok egyszerű darabból lehet őket összerakni. Ilyen esetekben csak idő kérdése a Betti-számok kiszámolása. Ami most jön, az is baromi régi, Poincaré 1895-ben írta le (ő azért elég komolyan hozzájárult a relativitás-elmélethez is, nagyon nagy matematikus volt),  de az sem nagyon egyszerű. Gyakorlatilag reménytelen. Viszont a reménytelenség is része a történetnek, de legalábbis a reményhez vezető út hossza. A Galois-ról van szó, az Évariste Galois-ról, aki még nem volt 21 éves, amikor abban a bizonyos párbajban meghalt. Ő találta ki a csoportokat, azért, hogy az ötödfokú egyenletek megoldhatatlanságát (egészen pontosan a gyökök algebrai szimbólumokkal való leírhatatlanságát) bebizonyítsa. A Rubik-kocka is tulajdonképpen egy csoportot ír le, aminek egészen pontosan 43252003274489856000 darab eleme van. Mindazonáltal az egyetlen matematikai alakzat, amit azért nagyjából mindenki ismer, az egész számok, is valójában egy csoport, egy végtelen csoport. Minden egyes alakzathoz hozzá lehet rendelni egy csoportot, amit Poincaré a fundamentális csoportnak nevezett el. Ez a csoport azt magyarázza el, hogy mennyire igaz (mennyire nem igaz) az, hogy a hurkokat össze lehet benne húzni, ez az a feltétel, ami a mérnökök konzervatív erőtereinél és az idézett Mérő László szövegnél is megjelenik.

      4.  Az ember ott áll, kezében egy véges alakzattal, amelyekhez vagy erőterek vagy számítógépes kódok segítségével, de számokat tud rendelni. A kétdimenziós gömbök esetén a számok 1,0,1 (a nulladik, az első, és a második Betti-szám, a harmadiktól felfelé már mindenki nulla). A tórusznál 1,2,1, a közönséges nyolcas (8) lásd még a végtelen jelét, esetében 1, 2 (itt már a második Betti-szám is nulla).  Igen, ha váltakozó előjellel összeadjuk ezeket a számokat, akkor a híres Euler-karakterisztikát kapjuk, ez sem véletlenül van így.

      5.  Poincaré azt is észrevette, hogy minden véges alakzathoz, hozzá lehet rendelni egy másikat (ami általában, de nem szükségszerűen végtelen), amelyikben a hurkok már mindig összehúzhatók. Ez az alakzat lokálisan meglehetősen hasonlatos az eredeti alakzathoz. Ha az eredeti alakzat a kör, akkor ez a valami (univerzális fedőtérnek hívják, ha lúd legyen kövér) az egyenes, ha az alakzat a nyolcas, akkor egy végtelen fa, amelynek minden csúcsából négy él indul ki, ha az alakzat a tórusz, akkor a sík.  Ha az alakzat egy kétlyukú fánk, akkor az univerzális fedőtér szintén a sík, de valahogy igen meglehetősen abban a hiperbolikus  formájában, ahogyan azt a Bolyai János elképzelte.

      6.  Van egy mantra, amit az Évariste Galois már tökéletesen értett volna. Ezen mantra segítségével a véges alakzatból egyre nagyobb véges alakzatok segítségével fel lehet érni a tetejéig, az univerzális fedésig (nem, nem mindig, de az összes fent tárgyalt esetben igen, attól függően, hogy a Poincaré-féle fundamentális csoport elég csinos-e). Ezek az ún. tornyok egyre jobban hasonlítanak ahhoz az ideális végtelen térhez ott a végén. (Igen, egyszer írtam a Lovász Lászlóék egyre nagyobb gráfjairól, aminek tulajdonképpen erősen köze van a Barabási-Albert László egyre nagyobb ismeretségi hálóihoz, amelyekről szintén írtam, és szintén egyre növekednek, és egyre inkább hasonlítanak egymáshoz, és ezen jelenségeknek valóban van közük egymáshoz). 

     7.  A közelítő alakzatoknak is vannak Betti számaik. Ha mondjuk a hetedik Betti-számot vesszük, akkor jelöljük ezt a számot C(k,7)-tel. Mivel a közelítő alakzatok egyre nagyobbak, ezeket a számokat le kell még osztani azzal a számmal, amennyivel a k-adik közelítő alakzat nagyobb az eredeti alakzatnál. Ez a normalizált érték legyen mondjuk B(k,7). 

     8.  Valamikor a nyolcvanas években egy David Kazhdan nevű matematikus észrevette, hogy azokban az esetekben, amelyeket ő ki tudott számolni, a B(k,7) számok (meg a B(k, 1) számok, a B(k,2), stb) konvergálnak (egyre közelebb lesznek) valamilyen értékhez. Nem tudta bebizonyítani, hogy ez mindig így van, de ez több mint gyanús volt a számára.

    9.  Neumann Jánost sok mindennel kapcsolatban szokták emlegetne. Ha ő mondhatta volna meg, hogy mivel kapcsolatban emlegessék, akkor nagyon valószínű, hogy a ma, nemes egyszerűséggel, Von Neumann algebráknak nevezett találmányát említette volna. A hetvenes években egy Atiyah nevű matematikus ( a huszadik század egyik legnagyobb matematikusa) Neumann János algebrái és a Neumann János elméletében szereplő fraktáldimenzió szerű számok segítségével körülírt egy olyan elméletet, amely segítségével az eredeti alakzathoz rendelt végtelen téren is lehet Betti-számokat értelmezni. Ő ezt igazából a kvantummechanikához akarta használni, de így alakult. 

  10. Felmerült (Gromovnál, akiről már szintén írtam posztot), hogy mi van akkor ha azok a B(k,7) számok, ahogy a k egyre növekedik, éppen az Atiyah k.-ik számához közelítenek... Enrico Betti, Henri Poincaré, Georges de Rham, tehát a klasszikus analízis, geometria és topológia, a misztikusan növekedő tereken keresztül, a végtelenben elér Neumann János megfoghatatlan kvantumszámaihoz. Ami azért elég félelmetes. 

  11. És ez valóban így van, ezt bebizonyították 1994-ben, és ez nagyon sok mindent megváltoztatott. Diák voltam Amerikában, a témavezetőm kapta meg levélben a bizonyítást, és csak néztem, és arra gondoltam, hogy ez milyen hihetetlen dolog, és milyen jó lenne megérteni, hogy mi ez az egész. A történetek, egymásba gabalyodtak, kiderült valami, amire senki sem gondolhatott a huszadik század elején, megszületett valami más, amit újra meg kell érteni, hogy új, megválaszolhatatlannak tűnő kérdések merüljenek fel, amelyeket megint meg kell érteni, és így tovább.

  12. Ezek a dolgok ilyenek, nemhogy királyi út nem vezet hozzájuk, hanem praktikusan semmilyen. El lehet őket mutogatni egy vicces kis posztban, de minden félmondat mögött van valami elméletféle, amit valamikor meg kell tanulni, és a végén az ember elér arra a szintre, ahol a világ 1994-ben volt, már jó esetben, és nincs más lehetőség. Vannak ilyen dolgok, van egy ilyen világ, azt is túl kell élni valahogy, és én most erről a világról akartam beszélni és nem arról a másikról.