Az értelmiség esete a véges egyszerű csoportok klasszifikációjával

   1.   Elhatároztam, hogy írok egy posztot azzal a címmel, hogy: " Az értelmiség esete a véges egyszerű csoportok klasszifikációjával".  Tetszik ez a cím. Elsőre nincs semmi értelme, de éppen ez benne a feladat.

   2.    A véges csoportokra úgy gondoljon a nemmatematikus olvasó (a matematikus olvasók ugorják át ezt a bekezdést, vagy akár az egész posztot), mint valamiféle absztrakt, de azért véges Rubik-kockán elvégezhető összes lehetséges transzformációk együttesére. Az igazi Rubik-kocka transzformációit is elképzelheti az Olvasó, annak kicsit több mint 43 trillió darab eleme van. Vannak azok a transzformációk, amelyek minden kiskockának megőrzik a pozícióját, de a saját helyükön eltekerhetik őket. Ha két ilyen transzformációt egymás után elvégzünk, akkor is megmarad a kiskockák pozíciója. Az ilyen transzformáció halmazokat úgy hívják, hogy részcsoport. Persze az is részcsoport, amikor csak az egyik oldalt csavargatjuk. Az utóbbi négy elemű. Az előző viszont kb. 121 millió darabból áll, ami persze semmi ahhoz a 43 trillióhoz képest. Amit hamar megtanul az ember ha játszik a Rubik-kockával az az, hogyha kitalál egy transzformációt, amelyik kevés dolgot mozdít el, akkor az összes olyan transzformáció is csak kevés dolgot mozdít el, amelyik úgy néz ki, hogy csinálok valamit csak úgy bele a levegőbe, majd elvégzem a megtanult transzformációt, majd megcsinálom az első transzformációt fordítva. Ez a fordított transzformáció az, ami egy transzformáció után visszarendezi a kockát. Ezt a műveletet konjugálásnak hívják, és ilyen konjugálásokkal lehet rájönni arra, hogyan lehet ha nem is gyorsan, de valahogy összerakni a Rubik-kockát. A 121 millió elemű részcsoportunkat konjugálhatjuk napestig, mindig csak önmagát kapjuk. Ezt nem nagyon nehéz belátni. Az olyan csoportokat, amelyekből nem lehet kilépni a konjugálásokkal normális részcsoportnak hívják. A véges egyszerű csoportok azok a véges csoportok, amelyekben csak kétféle normális részcsoport van, az egyik maga a csoport, a másik abból az egy darab transzformációból áll, ami nem csinál semmit. A Rubik-kocka transzformációcsoportja tehát nem egyszerű csoport.

     3.      Valamilyen szempontból a véges egyszerű csoportok olyan építőkövei az összes véges csoportnak, mint a prímszámok az összes természetes számnak, és valóban igaz, hogy minden prímszámhoz találhatunk egy nagyon könnyen elképzelhető egyszerű csoportot, t.i. az adott prímszám lehetséges maradékait az összeadásra nézve. Van egy másik aránylag könnyen elképzelhető egyszerű csoportosztály, ami négynél több tárgy összes lehetséges felcserélései közül azokból áll, amit páros sok sima cserével lehet megkapni. Ezeken kívül még tizenhat végtelen osztálya van az egyszerű csoportoknak.

      4.       A tizenkilencedik század hatvanas éveiben egy Matthieu nevű francia matematikus talált öt darab csoportot, amelyek egyszerűnek tűntek. Később kiderült, hogy ezek a csoportok valóban egyszerűek. Mivel ezek nem a fenti végtelen osztályokhoz tartoznak, sporadikus csoportnak hívják őket. Több mint száz évvel Matthieu után egy Zvonimir Janko nevű ausztrál-horvát matematikus talált egy újabb sporadikus csoportot. A következő évtizedekben még huszonnégy darab sporadikus csoportot találtak, a legnagyobb a Barátságos Szörnyeteg nagyjából nyolcszor tíz az ötvenharmadikon elemű volt. Minden egyes sporadikus csoport mögött egy-egy hihetetlen történet állt, mintha dzsungelekben találtak volna különös, elképzelhetetlen állatokat.

      5.      1983-ban egy Daniel Gorenstein nevű matematikus bejelentette, hogy nincs több egyszerű csoport. Bebizonyították, hogy nincs több egzotikus állat az őserdőben. A bejelentés után kiderült, hogy még egy kicsit dolgozni kell a bizonyításon, de nagyjából tíz évvel később már lényegében mindenki biztos volt benne, hogy kész a teljes bizonyítás. Száz évről, körülbelül ötszáz cikkről, több mint tízezer oldalról volt szó. 

      6.       Ezek a csoportok nagyon sok helyen tűnnek fel a világban, még a matematikán kívül is. Kétségkívül az  emberiség történetének egyik legnagyobb kollektív intellektuális teljesítményéről van szó. Aschbacher, Feit, Thompson, Hall, Conway, Brauer és Tits nevét minden csoportelmélész ismeri, de ezt a munkát több mint száz ember végezte el. Egészen kis téglákért abban a hatalmas falban, amire a tizennyolc osztály és a huszonhat sporadikus csoport nevét belevésték, életeket kellett ledolgozni. Ezt a posztot ezen életek emlékének ajánlom. 

      7.        A magyar értelmiségi elit elhiszi magáról, hogy csak azért mert milliók ismerik őket a televíziós locsifecsi műsorokból, mert minden héten elmagyarázhatják az aktuális megkérdőjelezhetetlen igazságot a helyes irányról, mert ők adják a jelzős szerkezeteket a népünknek, sokkal fontosabb személyiségek azoknál a névtelen hősöknél, akik húsz évet töltöttek el azzal, hogy egy-egy technikát élesítgettek azok közül, amelyeket felhasználtak a klasszifikációhoz.

     Tévednek.